Question

8．已知函数f（x）=mx+$\frac{1}{x}$且f（1）=2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明．

Answer 1

分析 （1）可以得到f（x）的定义域为{x|x≠0}，并可求得f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（2）由f（1）=2便可求出m=1，从而写出f（x）=x+$\frac{1}{x}$，可看出该函数在（1，+∞）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，提取公因式，证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（1，+∞）上单调递增．

解答 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}；
f（-x）=-mx-$\frac{1}{x}$=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（2）f（1）=m+1=2；
∴m=1；
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x＞1时，$0＜\frac{1}{x}＜1$，∴x增加速度大于$\frac{1}{x}$的减小速度，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：
设x₁＞x₂＞1，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评 考查奇函数的定义，判断一个函数为奇函数的方法和过程，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．