题目内容

已知抛物线y2=2px（p＞0）,过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B.

（1）若|AB|≤2p，求a的取值范围；

（2）若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求Rt△MNQ的面积.

解：（1）直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y2=2px，得x2-2（a+p）x+a2=0.

设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），则

∴|AB|=.

由0＜|AB|≤2p,8p(p+2a)＞0,解得-＜a≤-.

（2）设Q(x3,y3),由中点坐标公式,得x3==a+p,

y3==p,

∴|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.

又△MNQ为等腰直角三角形,∴S△MNQ=|QM|2=p2.


练习册系列答案
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已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．
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kMA+kMBkMF
是一个定值，并求出这个值．（其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）
已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．
（2009•聊城一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点M（2p，0）的直线与抛物线相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．
已知抛物线y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是抛物线上的两点．求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点．

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