Question

已知数列{a_n}的前n和S_n满足an+1=3Sn+1(n∈N*)且a₁=1；数列{b_n}满足b_n=log₄a_n
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）证明{b_n}为等差数列；
（3）数列{c_n}满足c₁=1，当n≥2时有cn=

1

bnbn+1

问是否存在最小的正整数t使得c1+c2+…+cn≤

7

15

t对任意的正整数n都成立，若存在求出，若不存在说明理由？

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3S_n+1可得当n≥2时有a_n=3S_n-1+1，两式相减整理得

an+1

an

=4(n≥2)，结合等比数列的通项公式可求
（2）由等差数列的定义可知只要证出b_n+1-b_n为常数即可
（3）由（2）知，当n≥2时有cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，利用裂项可求和，可求

解答：解：（1）a_n+1=3S_n+1…①
当n≥2时有a_n=3S_n-1+1…②
由①-②整理得

an+1

an

=4(n≥2)…（2分）
∵a₂=3a₁+1=4∴

a2

a1

=4
∴{a_n}是以a₁=1，公比q=4的等比数列{a_n}通项公式为an=4n-1…（4分）
（2）证明：∵bn+1-bn=log4an+1-log4an=log4

an+1

an

=1为常数
且b₁=0
∴{b_n}是以b₁=0，公比d=1为等差数列…（7分）
（3）由（2）知b_n=n-1
当n≥2时有cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)…（9分）
∴c1+c2+…+cn=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

∵2-

1

n

＜2∴

7

15

t≥2
即t≥

30

7

…（11分）
∴存在最小的正整数t=5使得c1+c2+…+cn≤

7

15

t对任意的正整数n都成立…（12分）

点评：本题主要考查了由数列的递推公式构造等比数列求解通项及等差熟练地的定义在等差数列的判断或证明中的应用，裂项求和是求解（3）的关键