Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= CD=1，如图2，将△ABD沿BD折起来，使平面ABD⊥平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；、
（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEF的体积为 ，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的绝对值．

Answer 1

【答案】证明：在图1中，取CD的中点E，连结BE， ∵AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= CD=1，
∴BE=DE=CE=1，BE⊥CD，
∴∠DBE=∠CBE=45°，
∴BC⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC平面BCD，
∴BC⊥平面ABD，∵AO平面ABD，
∴AO⊥BC，
∵AB=AD，O是BD的中点，
∴AO⊥BD，又BD∩BC=B，BD平面BCD，BC平面BCD，
∴AO⊥平面BCD．

（II）解：设F到平面ABD的距离为h，
则VA﹣BEF=VF﹣ABE= = = ，∴h= ．
∴CF= CA．
由（I）可知OE⊥BD，以O为原点，以OD，OE，OA为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（0，0， ），B（﹣ ，0，0），E（ ，0， ），C（﹣ ， ，0），
∴ =（ ，0， ）， =（0， ，0）， =（ ，﹣ ， ），
∴ = = =（ ， ， ），
设平面BEF的法向量为 =（x，y，z），则 ，
∴ ，令x=1得 =（1， ，﹣3），
∵BC⊥平面ABD，∴ =（0， ，0）是平面ABD的一个法向量，
∴cos＜ ＞= = = ．
∴二面角A﹣BE﹣F的余弦值的绝对值为 ．

【解析】（I）由面面垂直可得BC⊥平面ABD，故而BC⊥AO，结合AO⊥BD即可得出AO⊥平面BCD；（II）根据棱锥的体积得出F的位置，建立空间坐标系，求出两平面的法向量，则两法向量的夹角的余弦的绝对值即为所求．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．