Question

已知函数f（x）=-

1

3

x3+2ax²-3a²x+1，0＜a＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤

1

3

时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．
∴[f′（x）]_max=f′（1-a）=-8a²+6a-1，[f′（x）]_min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴

-8a2+6a-1≤a 2a-1≥-a

∴

a∈R a≥ 1 3

∴a≥

1

3

．
此时，a=

1

3

．（9分）
ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即

1

3

＜a＜1，[f′（x）]_max=f′（2a）=a²．

∵-a≤f′（x）≤a，∴

f′(1+a)≥-a f′(1-a)≥-a f′(2a)≤a

即

2a-1≥-a -8a2+6a-1≥-a a2≤a

∴

a≥ 1 3 7- 17 16 ≤a≤ 7+ 17 16 0≤a≤1.

∴

1

3

≤a≤

7+ 17

16

．
此时，

1

3

＜a≤

7+ 17

16

．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为[

1

3

，

7+ 17

16

]．（14分）