Question

双曲线x²-y²=2的左右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）在其右支上，且满足|

Pn+1F2

|=|

PnF1

|，

P1F2

•

F1F2

=0，则x₂₀₁₀=

4020

．

Answer 1

分析：由题意，知e=

2

，|P_nF₁|=|

2

+

2

xn|=

2

+

2

xn，|P_n+1F₂|=|

2

-

2

xn+1|=

2

xn+1-

2

，x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，求出x₁，由此根据等差数列的通项公式能求出x₂₀₁₀．

解答：解：依题意，双曲线x²-y²=2，
∴a=b=

2

，c=2，
它的离心率：e=

2

，准线方程为：x=±1．焦点坐标（±2，0）．
设点P_n到左准线的距离为d，
根据双曲线的第二定义得：
|

PnF1

|=d×e，
∴|

PnF1

|=|

2

+

2

xn|=

2

+

2

xn，
同理：|

Pn+1F2

|=|

2

-

2

xn+1|=

2

xn+1-

2

，
因为|

Pn+1F2

|=|

PnF1

|，
所以x_n+1=x_n+2，数列{x_n}构成一个等差数列，
又

P1F2

•

F1F2

=0，∴P₁F₂⊥F₁F₂，
∴x₁=c=2，
∴x_n=2n，
∴x₂₀₁₀=4020．
故答案为4020．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及等差数列的判断，属于圆锥曲线与数列的综合题．