Question

已知数列{a_n}满足a_n＞0且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求证：对一切n∈N^*有

a

2 n+1

-a_n+1=2S_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅲ）求证：

1

a 2 1

+

2

a 2 2

+

3

a 2 3

+…+

n

a 2 n

＜3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，再写一式，两式相减，化简可得结论；
（Ⅱ）由a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，可得a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以首项为a₁=1，公差为1的等差数列，从而可得数列的通项公式；
（Ⅲ）利用放缩法可得

n

a 2 n

=

n

n2

=

1

n3

＜

2

(n-1)(n+1) ×2 n

＜

2

(n-1)(n+1) ×( n-1 + n+1 )

=

1

n-1

-

1

n+1

，再利用叠加法，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，…①
所以a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，…②
①-②得a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），
则a_n+1²=S_n+1+S_n=a_n+1+2S_n，
所以a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（Ⅱ）解：因为a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，
所以a_n+1²+a_n+1=2S_n+1…③
则a_n²+a_n=2S_n…④
③-④得2a_n+1=（a_n+1²-a_n²）+（a_n+1-a_n），
从而a_n+1-a_n=1．
又a₁=1，所以数列{a_n}是以首项为a₁=1，公差为1的等差数列
所以a_n=n；
（Ⅲ）证明：∵a_n=n，∴

n

a 2 n

=

n

n2

=

1

n3

＜

2

(n-1)(n+1) ×2 n

＜

2

(n-1)(n+1) ×( n-1 + n+1 )

=

1

n-1

-

1

n+1

∴

1

a 2 1

+

2

a 2 2

+

3

a 2 3

+…+

n

a 2 n

＜1+（1-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）=2+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

＜3．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，正确求通项是关键．