Question

在△ABC中，顶点A，B，动点D，E满足：①；②，③共线.
（Ⅰ）求△ABC顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(I)设C（x,y）,由得，动点的坐标为；
由得，动点E在y轴上，再结合与共线，
得，动点E的坐标为;                 …………2分
由的，，
整理得，.
因为的三个顶点不共线，所以，
故顶点C的轨迹方程为.…………5分
(II)假设存在这样的圆，其方程为，
当直线MN的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，
得，
设M，N，
则，
所以 (*)…………7分
由，得0，
即，
将式子(*)代入上式，得.…………9分
又直线MN：与圆相切知：.
所以，即存在圆满足题意；
当直线MN的斜率不存在时，可得，满足.
综上所述：存在圆满足题意.

略