Question

甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击.

（1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率；

（2）求第4次由甲射击的概率.

Answer 1

解析：假设甲射击命中目标为事件A.乙射击命中目标为事件B.

（1）前3次射击中甲恰好击中2次可列举为下面事件AA，所求的概率为P=××=;“前3次射击中甲恰好击中2次”，其实隐含的条件是：第一次（甲射击）命中、甲在第二次射击也命中、在第三次射击中没有命中，即事件AA发生.事实上，因为第一次（由甲射击）如果出现，则第二次由乙射击，出现B（第三次仍由乙射击）或（第三次改由甲射击），出现的事件分别为BB，AB；A，，都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此第一次（甲射击）命中；再考虑第二次射击，甲如果没有击中，则出现的事件为AB，A，也都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此甲在第二次射击也命中；这样第三次不能再命中，否则结果为AAA；

（2）第4次由甲射击隐含条件为：第三次若由甲射击，则必击中；若由乙射击，则必未击中.逆推，可以将问题列举为下列事件：AAA、A、A、B.第4次由甲射击的概率

P=()³+()²×+×()²+××=.

另解（1）问，对立事件即“前 3次射击中甲恰好击中0、1、3次”，对应事件为BB，B，，B，A，A，AAA，计算得，相减；

（2）第n+1次由甲射击的概率为p_n+1对应的事件包括“第n次由甲射击击中，第n+1次继续由甲射击”和“第n次由乙射击没有击中，第n+1次由甲射击”两个事件，对应概率分别为p_n、(1-)(1-p_n).因为这两个事件是互斥的，则p_n+1=p_n+(1-)(1-p_n)=-p_n+,显然p₁=1，则

p_n+1-=-(p_n-),数列{p_n-}是分别以、-为首项、公比的等比数列，则p_n-=(-)^n-1,p_n=(-)^n-1+,n∈N^*.令n=4，则p₄=(-)³+=.