Question

设实数a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=0，若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两实数根，则|x₁²-x₂²|的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．
D．[0，3）

Answer 1

【答案】分析：由题意可得 方程ax²+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定，求出的范围，化简要求的式子为 •|1-x₂ |，可得当=0时，要求的式子有最小值0，再由|1-x₂ |=2|1-（-）|＜3可得要求的式子小于3，从而得到|x₁²-x₂²|的取值范围．
解答：解：由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两实数根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定．
故有 a+2b＞0，1＞＞-，0≤＜1．
不妨设 x₁ =1，由根与系数的关系可得 1+x₂=-，x₂=＜0，且对称轴为 x=-∈（-，）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=•|x₁-x₂|=•|1-x₂ |可得，
当=0时，|x₁²-x₂²|=•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-）|=2|（1+）|≤2+＜2+1=3，
故  •|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范围为[0，3），
故选D．
点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，判断1方程ax²+bx+c=0的根，是解题的关键，是属于中档题．