Question

已知椭圆的左右焦点分别为，点M（0,2）是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形。

（1）求椭圆的方程；
（2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两条直线的斜率分别为，且，证明：直线AB过定点。

Answer 1

解：（1 ）由已知可得，        
所求椭圆方程为。  
（2）若直线AB的斜率存在，设AB方程为，依题意。        
设        
由，得。      
则。        
由已知，    所以，        
即。  
所以，整理得。       
故直线AB的方程为，即。       
所以直线AB过定点（-，-2）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为，
设，，        
由已知， 得。
此时AB方程为，显然过点。        
综上，直线AB过定点。