Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

cos2x．求：
（1）函数f（x）的单调增区间；
（2）函数f（x）的最小正周期；
（3）函数f（x）的图象由函数y=sinx的图象经过怎样的变化可以得到．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数化简函数f(x)=sin2x+

3

cos2x为f(x)=2sin(2x+

π

3

)
（1）利用正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调增区间；
（2）直接利用正弦函数的周期公式，求出函数的周期．
（3）方法一：按照纵坐标不变先φ（左、右平移），再ω，就是横坐标变为原来的

1

2

倍，然后纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）；
法二：将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将图象向左平移

π

6

个单位长度，再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）；先ω，再φ，后A的变换过程．

解答：解：f(x)=sin2x+

3

cos2x=2(sin2x•

1

2

+cos2x•

3

2

)=2sin(2x+

π

3

)（4分）
（1）2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，（6分）
∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（7分）
即函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

， kπ+

π

12

]  (k∈Z)（8分）
（2）函数f（x）的最小正周期为π（10分）
（3）方法一：将函数y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位长度，再将图象上每一个点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）；（14分）
方法二：将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将图象向左平移

π

6

个单位长度，再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，最值、单调性、周期、函数图象的变换，主要考查基本知识的灵活应用，基本知识的掌握的熟练程度，决定解题的好坏和快慢．