题目内容
已知函数
是在
上每一点均可导的函数，若
在
时恒成立．
（1）求证：函数
在上是增函数；
（2）求证：当
时，有
；
（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．
【答案】
【解析】（1）由
得
因为
，
所以
在
时恒成立，所以函数在
上是增函数．……3分
（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当
时，
有
成立，……5分
从而
，
两式相加得
．……7分
（3）推广到一般情况为：
若
，则
，
．……8分
以下用数学归纳法证明
（1）当
时，有（2）已证成立，……9分
（2）假设当
时成立，即
那么当
时，
成立，即当时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切时都成立．……12分
练习册系列答案
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是在
上每一点均可导的函数，若
在
时恒成立．
在
时，有
；
是在
上每一点处均可导的函数，若
在
在
时，证明：
；
在
且
时恒成立，求证：
…
是在
上每一点处均可导的函数，若
在
在
时，证明：
；
在
且
时恒成立，求证：
…
是在
上每一点均可导的函数，若
在
时恒成立．
在
时，有
；