题目内容
已知函数f（x）=2cos2x+2
sinx-cosx+a-1且a为常数．（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[0，
]时，f（x）的最小值为4，求a的值．
【答案】分析：（1）化简函数解析式为2sin（2x+
）+a，周期为 T=
，由 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，解得x的范围即得递增区间．
（2）当x∈[0，
]时，求得2x+
的范围，利用单调性得 2x+
=
时，f（x）有最小值 4，解方程得到a值．
解答：解：函数f（x）=1+2cos2x+
sin2x+a-1=2sin（2x+
）+a．
（1）∴f（x）的最小正周期为 T=
=π，由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，可得
kπ-
≤x≤kπ+
，∴递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
（2）当x∈[0，
]时，
≤2x+
≤
，
∴当 2x+
=
时，f（x）的最小值为：2×（-
）+a=4，故 a=5．
点评：本题考查三角函数的单调性、周期性以及最值的求法，判断2x+
=
时，f（x）有最小值是解题的关键．
）+a，周期为 T=，由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围即得递增区间．（2）当x∈[0，
]时，求得2x+的范围，利用单调性得 2x+= 时，f（x）有最小值 4，解方程得到a值．解答：解：函数f（x）=1+2cos2x+
sin2x+a-1=2sin（2x+）+a．（1）∴f（x）的最小正周期为 T=
=π，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ-
≤x≤kπ+，∴递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．（2）当x∈[0，
]时，≤2x+≤，∴当 2x+
= 时，f（x）的最小值为：2×（-）+a=4，故 a=5．点评：本题考查三角函数的单调性、周期性以及最值的求法，判断2x+
= 时，f（x）有最小值是解题的关键． 
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