Question

如图为正方体ABCD-A₁B_!C_!D₁切去一个三棱锥B₁-A_!BC₁后得到的几何体．
（1）画出该几何体的正视图；
（2）若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D₁O∥平面A₁BC₁；
（3）求证：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析：（1）根据正视图的定义，其正视图为正方形，看到的一条棱是正方形的对角线；
（2）将其补成正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设B₁D₁和A₁C₁交于点O₁，连接O₁B，证明D₁O∥O₁B，再证明线面平行；
（3）利用线线垂直证明A₁C₁⊥平面BD₁D，再由线面垂直证明面面垂直．

解答：解：（1）几何体的正视图为：
（2）将其补成正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设B₁D₁和A₁C₁交于点O₁，连接O₁B，
依题意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，
∴四边形D₁OBO₁为平行四边形，∴D₁O∥O₁B，
∵BO₁?平面BA₁C₁，D₁O?平面BA₁C₁，
∴直线D₁O∥平面A₁BC₁．
（3）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，则DD₁⊥A₁C₁，
又∵B₁D₁⊥A₁C₁且DD₁∩B₁D₁，
∴A₁C₁⊥平面BD₁D，又∵A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

点评：本题考查了几何体的三视图，考查了线面平行的证明及面面垂直的证明，考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力．