Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=2bcosA（Ⅰ）求证：

a2-b2

c2

=

1

3

；（Ⅱ）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，且最大边的边长为

17

，求最小边的边长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的三边，利用余弦定理表示出cosB和cosA，代入已知的等式中，化简即可得证；
（Ⅱ）利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简已知等式左边的分子，并利用完全平方公式变形，分母利用平方差公式变形，约分后整理得到关于sinB和cosB的关系，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，利用正弦定理化简acosB=2bcosA，等式左右两边同时除以cosAcosB后，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到tanA=2tanB，由tanB的值求出tanA的值，然后利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将tanA和tanB的值代入求出tan（A+B）的值，利用三角形的内角和定理及诱导公式变形求出tanC的值，根据tanA，tanB及tanC的值都大于0，得到此三角形为锐角三角形，根据正切函数为增函数得到A为最大角，C为最小角，进而由tanA及tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，由最长边a，sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出最小边c的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
代入acosB=2bcosA中得：a•

a2+c2-b2

2ac

=2b•

b2+c2-a2

2bc

，
整理得：a²+c²-b²=2b²+2c²-2a²，即3a²-3b²=c²，
∴

a2-b2

c2

=

1

3

；
（Ⅱ）∵

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，
∴

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=-3，
整理得：cosB+sinB=-3cosB+3sinB，
即：tanB=2，
由正弦定理化简acosB=2bcosA得：
sinAcosB=2sinBcosA，
可得：tanA=2tanB=4，
则tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

6

7

，
又tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
∴tanC=

6

7

，
∵tanA＞tanB＞tanC＞0，且A，B及C为三角形的内角，
可得

π

2

＞A＞B＞C＞0，
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 1+tan2A

=

4 17

17

，
sinC=

1-cos2C

=

1- 1 1+tan2C

=

6 85

85

，
又a=

17

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

3 85

10

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正切函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正切函数的增减性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．