Question

已知a，b为实数，a＞2，函数f(x)=|lnx-

a

x

|+b，若f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1．
（1）求实数a，b；
（2）求函数f（x）在[1，e²]上的取值范围；
（3）若实数c、d满足c≥d，cd=1，求f（c）+f（d）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1代入函数解析式得到关于a，b的方程组，求解方程组可得a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入函数解析式，由函数单调性求绝对值内部的代数式的范围，从而可求函数f（x）在[1，e²]上的取值范围；
（3）根据c≥d，cd=1，得到c≥1，d=

1

c

，把f（c）+f（d）的表达式用含有c的代数式表示，然后根据c的不同取值范围，利用基本不等式求f（c）+f（d）的最小值，最后得出要求的结论．

解答：解：（1）由f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1．
得：

|ln1-a|+b=e+1 |ln2- a 2 |+b= e 2 -ln2+1

，
因为a＞2，所以，

a+b=e+1 a 2 -ln2+b= e 2 -ln2+1

，解得：a=e，b=1．
（2）由（1）知，f(x)=|lnx-

e

x

|+1，
令g(x)=lnx-

e

x

，则g′(x)=

1

x

+

e

x2

=

x+e

x2

，
当x∈[1，e²]时g^′（x）＞0恒成立，
所以，g（x）在[1，e²]上为增函数，
所以g（x）_min=g（1）=-e，g(x)max=g(e2)=lne2-

e

e2

=2-

1

e

．
所以，|lnx-

e

x

|∈[0，e]，
则函数f（x）在[1，e²]上的取值范围是[1，e+1]．
（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，
所以lnc≥0，ce≥0，
若1≤c＜e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=

e

c

-lnc+lnc+ce+2=

e

c

+ce+2≥2

e c •ce

+2=2e+2．
若c=e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=e²+3．
若c＞e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=lnc-

e

c

+lnc+ce+2
=2lnc+e(c-

1

c

)+2，
函数h(c)=2lnc+e(c-

1

c

)+2为（e，+∞）上的增函数，
所以，f(c)+f(d)＞h(e)=2lne+e(e-

1

e

)+2=e²+3．
因为e²+3≥2e+2，
所以，当c=d=1时，f（c）+f（d）的最小值为2e+2．

点评：本题考查了利用代入法求函数解析式，考查了利用函数的导函数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用基本不等式求函数的最值，此题属中档题．