题目内容
已知F1（-2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，过F1的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且|MN|的最小值为6．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设A，B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时，求∠AMB的大小．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设A，B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时，求∠AMB的大小．
（Ⅰ）由题意，设椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），其中c=2，a2-b2=4．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x=-2，代入
+
=1，得y2=b2（1-
）=
，
∴|y1-y2|=
，即|AB|=
．
若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y=k（x+2），代入
+
=1，
得
+
=1，
即 （a2k2+b2）x2+4a2k2x+a2（4k2-b2）=0．
△=（4a2k2）2-4（a2k2+b2）a2（4k2-b2）
=4a2b2[（a2-4）k2+b2]=4a2b4（1+k2），
∴|x1-x2|=
，
∴|MN|=
•
=
=
•
＞
．
综上，|MN|的最小值为
．
由题知
=6，即 b2=3a．
代入a2-b2=4，得a2-3a-4=0，
解得a=-1（舍），或a=4．∴b2=12．
∴椭圆C的方程为
+
=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．
当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．
根据椭圆的对称性，不妨取M（-2，3），
∠AMB即直线AM到直线MB的角．
∵AM的斜率k1=
=
，
BM的斜率k2=
=-
，
∴tan∠AMB=
=-8．
∵∠AMB∈（0，π），
∴∠AMB=π-arctan8．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x=-2，代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| a2 |
| b4 |
| a2 |
∴|y1-y2|=
| b2 |
| a |
| 2b2 |
| a |
若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y=k（x+2），代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
得
| x2 |
| a2 |
| k2(x2+4x+4) |
| b2 |
即 （a2k2+b2）x2+4a2k2x+a2（4k2-b2）=0．
△=（4a2k2）2-4（a2k2+b2）a2（4k2-b2）
=4a2b2[（a2-4）k2+b2]=4a2b4（1+k2），
∴|x1-x2|=
2ab2
| ||
| a2k2+b2 |
∴|MN|=
2ab2
| ||
| a2k2+b2 |
| 1+k2 |
=
| 2ab2(1+k2) |
| a2k2+b2 |
=
| 2b2 |
| a |
| 1+k2 | ||
k2+
|
| 2b2 |
| a |
综上，|MN|的最小值为
| 2b2 |
| a |
由题知
| 2b2 |
| a |
代入a2-b2=4，得a2-3a-4=0，
解得a=-1（舍），或a=4．∴b2=12．
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．
当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．
根据椭圆的对称性，不妨取M（-2，3），
∠AMB即直线AM到直线MB的角．
∵AM的斜率k1=
| 3-0 |
| -2+4 |
| 3 |
| 2 |
BM的斜率k2=
| 3-0 |
| -2-4 |
| 1 |
| 2 |
∴tan∠AMB=
| k2-k1 |
| 1+k1k2 |
∵∠AMB∈（0，π），
∴∠AMB=π-arctan8．
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