题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足 $数学公式$ 且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）若数列{b_n}满足 $数学公式$ ，求证数列{b_n}是等比数列．
（3）求满足 $数学公式$ 的最小正整数n．

（1）解：∵ $\text{[math]}$
∴2a₁=a₂-3①，2（a₁+a₂）=a₃-7②
∵a₁，a₂+5，a₃成等差数列
∴2（a₂+5）=a₁+a₃，③
∴由①②③可得a₁=1；
（2）证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （n≥2）
两式相减可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵数列{b_n}满足 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3（n≥2）
∵2a₁=a₂-3，
∴a₂=5
∴b₁=3，b₂=9
∴ $\text{[math]}$
∴数列{b_n}是一个以3为首项，公比为3的等比数列．…（9分）
（3）解：由（2）知 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（11分）
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以n≥4，所以n的最小正整数为4．…（15分）
分析：（1）利用数列递推式，及a₁，a₂+5，a₃成等差数列，即可求a₁的值；
（2）再写一式，两式相减，即可证得结论；
（3）确定数列的通项，利用 $\text{[math]}$ ，即可求最小正整数n．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查学生的计算能力，属于中档题．