题目内容
（2012•兰州模拟）已知函数f（x）=x+ln（1-x），e为自然对数的底数．
（1）若x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，求实数m的取值范围；
（2）若n≥2，n∈N*，证明(1+
)(1+
)…(1+
)＜e．
（1）若x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，求实数m的取值范围；
（2）若n≥2，n∈N*，证明(1+
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| 1 |
| n! |
分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的最大值，x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，等价于x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，由此可求实数m的取值范围；
（2）由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x，由此进行放缩，裂项，即可证得结论．
（2）由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x，由此进行放缩，裂项，即可证得结论．
解答：（1）解：函数的定义域为（-∞，1），求导函数可得：f′(x)=1-
=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＜1，∴x＜0；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＜1，∴0＜x＜1
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（x）max=f（0）=0
∵x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，
∴x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，
∴m≤0
∴实数m的取值范围是（-∞，0]；
（2）证明：由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
∴ln[(1+
)(1+
)…(1+
)]=ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln(1+
)＜
+
+…+
≤
+
+…+
=
-
+
-
+…+
-
=1-
＜1
∴(1+
)(1+
)…(1+
)＜e．
| 1 |
| 1-x |
| x |
| x-1 |
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＜1，∴x＜0；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＜1，∴0＜x＜1
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（x）max=f（0）=0
∵x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，
∴x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，
∴m≤0
∴实数m的取值范围是（-∞，0]；
（2）证明：由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
∴ln[(1+
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| 1 |
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| 1 |
| n! |
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| 2! |
| 1 |
| 3! |
| 1 |
| n! |
| 1 |
| 2! |
| 1 |
| 3! |
| 1 |
| n! |
≤
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| (n-1)n |
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
∴(1+
| 1 |
| 2! |
| 1 |
| 3! |
| 1 |
| n! |
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，属于中档题．
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