Question

直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支交于A，B两点，另一条直线l过点（-2，0）和AB的中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为

(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)

．

Answer 1

分析：直线与双曲线方程联立消去y，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），进而根据判别大于0及x₁和x₂的范围求得k的范围，表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b关于k的表达式，根据k的范围求得b的范围．

解答：解：由

y=kx+1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²-2kx-2=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则

△=(-2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜0 x1x2= 2 k2-1 ＞0

，解得1＜k＜

2

，
∴AB中点为（

k

1-k2

，

1

1-k2

），
∴l方程为y=

x+2

-2k2+k+2

，令x=0，
得b=

2

-2k2+k+2

=

2

-2(k- 1 4 )2+ 17 8

，
∵1＜k＜

2

，
∴

2

-2＜-2（k-

1

4

）²+

17

8

＜1，
所以，b的范围是（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线综合问题．用k表示b的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意k的取值范围．