Question

（2013•和平区一模）若抛物线y²=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（　　）

• A．（-

  2

  3

  ，0）
• B．（0，

  3

  2

  ）
• C．（0，

  2

  3

  ）
• D．（-∞，0）∪（

  2

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线x+y-1=0上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点A和B在抛物线上，所以有y12=2px1①
y22=2px2②
①-②得，y12-y22=2p(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以k_AB=1，即

2p

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=2p．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则y0=

y1+y2

2

=

2p

2

=p．
又M在直线x+y-1=0上，所以x₀=1-y₀=1-p．
则M（1-p，p）．
因为M在抛物线内部，所以y02-2px0＜0．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜

2

3

．
所以p的取值范围是（0，

2

3

）．
故选C．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于p的不等式，是中档题．