Question

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移φ（0＜φ＜

π

2

）个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数g（x）的图象．若直线x=

4

3

π是函数g（x）的图象的对称轴，求φ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

），从而可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦函数的性质可求得φ的值．

解答：解：（I）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1
=cos2x+

3

sin2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．                
（II）将函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）的图象向右平移φ个单位，
得到函数f₁（x）=2sin[2（x-φ）+

π

6

]=2sin（2x-2φ+

π

6

）的图象；
再将函数f₁（x）图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，
得到函数g（x）=2sin（

1

2

x-2φ+

π

6

）的图象．                                       
∵直线x=

4π

3

是函数g（x）的图象的对称轴，
∴2sin（

1

2

×

4π

3

-2φ+

π

6

）=±2，
即-2φ+

5π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
得φ=-

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦函数的性质，属于中档题．