Question

（2012•辽宁模拟）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=

π

4

，则cosA-cosC的值为（　　）

• A．±

  2

• B．

  2

• C．

  4	2

• D．±

  4	2

Answer 1

分析：通过a、b、c成等差数列以及正弦定理得到关系式，利用和差化积，二倍角公式以及三角形的内角和，推出 cos

A-C

2

=2sin

B

2

，求出sin

A-C

2

，利用和差化积化简cosA-cosC，代入B，即可求出结果．

解答：解：由于a，b，c成等差数列，所以有：2b=a+c；
据正弦定理有：a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC； 代入2b=a+c，
化简，得：
2sinB=sinA+sinC=2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sin

π-B

2

cos

A-C

2

=2cos

B

2

cos

A-C

2

=4sin

B

2

cos

B

2

；
cos

A-C

2

=2sin

B

2

；
sin

A-C

2

=±

1-4sin2 B 2

=±

1-2(1-cosB)

=±

2cosB-1

cosA-cosC=-2sin

A+C

2

sin

A-C

2

=±2cos

B

2

2cosB-1

=±

2(1+cosB)(2cosB-1)

=±

4cosB-2+4cos2B-2cosB

=
±

2cosB-2+4cos2B

=±

2cos45°-2+4cos245°

=
±

2 -2+2

=±

4	2

；
故选D．

点评：本题考查和差化积公式的应用，二倍角以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．