Question

已知函数f（x）=

1

x

+

2

x2

+

1

x3

．
（1）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的极值点．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表得到函数的最值．
（2）求出f（x）的导函数，通过判断导函数等于0根的情况，对参数a进行分类讨论，求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值．

解答：解：（1）f′（x）=-

(x+1)(x+3)

x4

．
令f′（x）＞0，得-3＜x＜-1，
令f′（x）＜0，得x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．
列出x，f′（x），f（x）的变化情况表

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	?	极小值 - 4 27		极大值0		-2

∴最大值为0，最小值为-2．
（2）g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

；
设u=x²+4x+3a．
△=16-12a，
①当a≥

4

3

时，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点
②当0＜a＜

4

3

时，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0．
减区间：（-∞，x₁），（x₂，0），（0，+∞），增区间：（x₁，x₂）．
∴有两个极值点x₁，x₂．
③当a=0时，g（x）=

1

x

+

2

x2

，g′（x）=-

x+4

x3

．
减区间：（-∞，-4），（0，+∞），增区间：（-4，0）．
∴有一个极值点x=-4．
综上所述：a=0时，有一个极值点x=-4；
0＜a＜

4

3

时有两个极值点x=-2±

4-3a

；
a≥

4

3

时没有极值点．

点评：求函数在闭区间上的最值，一般利用导数求出函数的极值，再求出闭区间的两个端点值，从中选出最值；求函数的极值，一般令导函数等于0求出根，再判断根左右两边的导函数符号是否异号．