Question

设关于x的函数f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a），
（1）当a=1，求y=f（x）的最小值；
（2）若a∈R，求y=f（x）的最小值f（a）
（3）试确定满足f(a)=

1

2

的a的值，并对此时的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用配方法，即可求y=f（x）的最小值；
（2）先换元，再利用配方法，分类讨论，可得y=f（x）的最小值f（a）
（3）利用（2）的结论，结合足f(a)=

1

2

，求出a的值，从而可求y的最大值．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2cos²x-2cosx-3=2（cosx-

1

2

）²-

7

2

∴当cosx=

1

2

，即x=2kπ±

π

3

（k∈Z）时，y_min=-

7

2

；
（2）令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=2t²-2at-（2a+1），对称轴为t=

a

2

①当

a

2

＜-1，即a＜-2时，函数在[-1，1]上单调递增，y_min=1；
②当

a

2

＞1，即a＞2时，函数在[-1，1]上单调递减，y_min=-4a+1；
③当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，函数在[-1，

a

2

）上单调递减，在（

a

2

，1]上单调递增，y_min=-

a2

2

-2a-1；
∴y=f（x）的最小值f（a）=

1，a＜-2 - a2 2 -2a-1，-2≤a≤2 -4a+1，a＞2

；
（3）①a＜-2时，y_min=1≠

1

2

；
②a＞2时，y_min=-4a+1=

1

2

，∴a=

1

8

，与a＞2矛盾；
③-2≤a≤2时，y_min=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，∴a=-1或a=-3（舍去）
∴a=-1，此时y_max=-4a+1=5．

点评：本题考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．