Question

在周长为16的三角形ABC中，AB=6，A，B所对的边分别为a，b，则abcosC的取值范围是　　．

Answer 1

考点：

余弦定理；基本不等式．

专题：

三角函数的求值．

分析：

由题意可得三角形ABC中，b=10﹣a，再由任意两边之和大于第三边可得 2＜a＜8，由余弦定理可得2ab•cosC=a²+b²﹣36=（a﹣5）²+7，再利用二次函数的性质求得abcosC的取值范围．

解答：

解：由题意可得三角形ABC中，a+b=16﹣6=10，∴b=10﹣a．再由任意两边之和大于第三边可得 2＜a＜8．

由余弦定理可得 36=a²+b²﹣2ab•cosC，

∴2ab•cosC=a²+b²﹣36=a²﹣10a+32=（a﹣5）²+7，

∴7≤a＜9+7=16，

故abcosC的取值范围是[7，16），

故答案为[7，16）．

点评：

本题主要考查余弦定理的应用，二次函数的性质的应用，属于中档题．