Question

在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则

①四边形BFD′E一定是平行四边形;

②四边形BFD′E有可能是正方形;

③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形;

④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D.

其中正确的是_________.(把所有正确的序号都写上)

Answer 1

思路解析：①容易看出EB=FD′与FB=ED′，所以四边形BFD′E一定是平行四边形.

②如果BFD′E是正方形，那么BFD′E的四边相等，只有当E、F分别是AA′和CC′的中点时才成立，另外由于BFD′E是正方形，所以FB=ED′，这时E只能是A、A′之一，矛盾.

③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影就是正方形ABCD.

④当E、F分别是AA′和CC′的中点时，四边形BFD′E垂直于平面BB′D.

(由于EF∥ACEF⊥BD,EF⊥DD′)

答案：①③④