题目内容

已知函数f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的T_n与 $数学公式$ 的大小并说明理由．

（本小题14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在f（x）的图象上 $\text{[math]}$ ，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，
由错位相减法可求得 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$
当n=1时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=0， $\text{[math]}$
当n=2时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=-6， $\text{[math]}$
当n=3时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=12， $\text{[math]}$
下证n≥3时， $\text{[math]}$ ，
即证n≥3时，2ⁿ＞2n+1，
∵n≥3时， $\text{[math]}$ 成立，
∴n≥3时， $\text{[math]}$ 成立，
综上所述：n=1时， $\text{[math]}$ ；
n=2时， $\text{[math]}$ ；
n≥3时， $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点 $\text{[math]}$ ，故f（x）=2^x-1，又C（n，S_n）在f（x）的图象上 $\text{[math]}$ ，由此能求出{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，由错位相减法可求得 $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ ，能比较T_n与 $\text{[math]}$ 的大小并说明理由．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．