Question

求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，

令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.

解方程组x-3y-11=0,x+4y+10=0_{得两直线的交点为(2，－3)．}

将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得

(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.

这表明不论m取什么实数，所给直线都经过定点(2，－3)．

证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.

因为m可以取任意实数，所以有2x+y-1=0,-x+3y+11=0_{解得x=2,y=-3}

所以不论m取什么实数所给的直线都经过定点(2，－3)．

[点评]　(1)分别令参数取两个特殊值得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．

(2)直线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点．