Question

如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
（3）若PO=1，AB=2，则异面直线OE与AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC、OE，由中位线定理得PA∥EO，再由线面平行的判定定理得PA∥面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，得PO⊥BD．再证得BD⊥平面由面面垂直的判定定理证得平面PAC⊥平面BDE；
（3）由（1）知，PA∥EO，知∠PAD为异面直线OE与AD所成角．

解答：证明：（1）连接AC、OE，AC∩BD=O，
在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA∥EO，
又∵EO?平面EBD，PA?平面EBD，∴PA∥面BDE．

（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．
又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC．
又BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．

（3）由（1）知，PA∥EO，
∴∠PAD为异面直线OE与AD所成角．
∵O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD
∴PD=

PO2+OD2

=

1+2

=

3

，
PA=

PO2+OA2

=

1+2

=

3

，
∴在△APD中，PA=PD，△APD是等腰三角形．
∴cos∠PAD=

1 2 AD

PA

=

1

3

=

3

3

．

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理，和异面直线所成的角．