Question

已知：函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函数f（x）的图象过点，．求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用辅助角公式将函数转化为，函数f（x）的最小正周期和值域可求；
（2）解法一：将（）代入，可得，根据，可求，
             =2sinα=，利用两角和的正弦公式可使问题得到解决；
     解法二：将展开得，根据题中条件可得，
            从而得=，展开得，解关于sinα，cosα的方程组可求得sinα，
            又=2sinα，问题即可得到解决；
     解法三：由可求，根据α的范围可求，
             利用sin²2α+cos²2=1求得 cos2α=，
            由升幂公式可得；结合可求sinα，又=2sinα，问题得到解决．
解答：解：（1）==---（3分）
∴函数的最小正周期为2π，值域为{y|-2≤y≤2}．
（2）解法1：依题意得：，，
∵．∴，∴==
∵=
∴=
解法2：依题意得：，得----①
∵．∴，∴=
由=得-----------②
①+②得，∴=
解法3：由得，
两边平方得，，，
∵．∴由＞0知
∴，由cos2α=1-2sin²α，得
∴∴=．
点评：本题考查正弦函数性质，解决的方法灵活，解法一侧重拼凑角的方法，考查两角和的正弦公式的应用，解法二侧重方程组思想方法，解法三侧重于倍角公式，升幂公式的考查，属于中档题．