Question

气象台A处向西300千米处有一个台风中心，若台风以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都处在台风圈内，问：气象台A处在台风圈内的时间大约多长？（提示：以现在台风中心位置点O为原点，以台风中心O点和气象台位置A点连线为x轴，建立如图所示坐标系）

Answer 1

分析：建立如图所示的直角坐标系，可得以A为圆心的台风圈所在圆的方程为（x-300）²+y²=250²，台风移动路线l的方程为y=x（x≥0），联解直线与圆的方程并利用一元二次方程根的判别式，可得直线l与圆A有两个交点B、C．再由韦达定理与两点的距离公式加以计算，得到BC的长即可算出台风影响该气象台的时长．

解答：解：以现在台风中心位置点O为原点，以台风中心O点和气象台位置A点连线为x轴，建立如图所示坐标系．
以点A为圆心、半径为250千米的圆的方程为（x-300）²+y²=250²，
台风移动路线直线l的方程为y=x（x≥0），
由题意，可得只要直线l与圆A有交点，点A就处在台风圈内，A处就受到影响．
由

y=x (x-300)2+y2=2502

，消去y得2x²-600x+27500=0，
∵△=600²-4×2×27500=140000＞0，
∴直线BC与圆A相交，可得直线l与圆A有两个交点B、C，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵

x1+x2=300 x1•x2=13750

∴|BC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

[(x1+x2)2-4x1•x2]

=100

7

．
可得A处受台风影响的时间为

100 7

40

=

5 7

2

小时，约6小时37分钟．
答：气象台A处必定受到台风影响，在台风圈内的时间大约6小时37分钟．

点评：本题给出实际应用问题，求台风影响气象台的时长．着重考查了圆的标准方程、直线与圆位置关系与弦长公式等知识，考查了直线与圆的知识在实际问题中的应用，属于中档题．