Question

已知函数f（x）=

3

sin2x-cos2x，x∈R，给出以下说法：
①函数f（x）的图象的对称轴是x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z；
②点P（

7π

12

，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
③函数f（x）在区间[

π

2

，π]上的最大值是

1

2

；
④将函数f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，得到函数g（x）=sin2x-

3

cos2x的图象．
其中正确说法的序号是

 

．

Answer 1

分析：将函数f（x）=

3

sin2x-cos2x化简为f（x）=2sin（2x-

π

6

），利用正弦函数的对称性、单调性与最值及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，分别对①②③④四个选项逐一判断即可．

解答：解：∵f（x）=

3

sin2x-cos2x
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

6

），
对于①，由2x-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），
∴函数f（x）的图象的对称轴方程是x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），故①正确；
对于②，∵f（

7π

12

）=2sin（2×

7π

12

-

π

6

）=2sinπ=0，
∴点P（

7π

12

，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心，即②正确；
对于③，∵x∈[

π

2

，π]，
∴2x-

π

6

∈[

5π

6

，

11π

6

]，
∴当x=

π

2

，2x-

π

6

=

5π

6

时，f（x）_max=2sin

5π

6

=1≠

1

2

，故③错误；
对于④，∵f（x）=2sin（2x-

π

6

），
∴f（x-

π

12

）=2sin[2（x-

π

12

）-

π

6

]
=2sin（2x-

π

3

）
=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=sin2x-

3

cos2x
=g（x），
故④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，着重考查正弦函数的对称性、单调性与最值及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．