Question

（2012•广州二模）已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+x，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，可求得f′（x）=

-ax2+x+1

x

，然后对a分a=0，a＞0，与a＜0分类讨论，利用f′（x）＞0，与f′（x）＜0可得其递增区间与递减区间；
（2）由（1）可知，当a＞0，函数取到极大值，此时f（x）=0有两个不等的根，即lnx=

1

2

ax2-x有两个不等的根构造函数y=lnx与y=

1

2

ax2-x，则两个图象有两个不同的交点，从而可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，a∈R，∴f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

（x＞0），
∴当a=0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由于x＞0，故-ax²＞0，于是-ax²+x+1＞0，
∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f′（x）＞0得，0＜x＜

1+ 1+4a

2a

，即f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上单调递增；
由f′（x）＜0得，x＞

1+ 1+4a

2a

，即f（x）在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上单调递减；
（2）由（1）可知，当a＞0，x=

1+ 1+4a

2a

时函数取到极大值，此时
∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0
∴f（x）=0有两个不等的根
即f(x)=lnx-

1

2

ax2+x=0有两个不等的根
即lnx=

1

2

ax2-x有两个不等的根
构造函数y=lnx与y=

1

2

ax2-x，则两个图象有两个不同的交点
∵y=lnx过（1，0），y=

1

2

ax2-x的对称轴为直线x=

1

a

，顶点坐标为(

1

a

，-

1

2a

)
∴

1

a

＞

1

2

，解得a＜2
∴0＜a＜2

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．