Question

（2013•烟台二模）已知函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）存在极值，则k的取值集合是（　　）

A．{2，4，6，8，…}

B．{0，2，4，6，8，…}

C．{l，3，5，7，…}

D．N^*

Answer 1

分析：对k分奇偶讨论，对原函数求导，进而探求在导数为0的左右附近，导数符号的改变，从而确定是否存在极值点．

解答：解：∵k∈N^*，
①当k的取值集合是{2，4，6，8，…}时，函数f（x）=x²-2lnx，
∴f'（x）=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，由f'（x）=0得x=-1，或x=1．
当x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，y′＞0；
当x∈（-1，1）时，y′＜0
∴当x=-1和x=1是函数的极值点．
②当k的取值集合是{l，3，5，7，…}时，函数f（x）=x²+2lnx，
∴f'（x）=2x+

2

x

=

2(x2+1)

x

，由f'（x）=0得x∈∅．故此时原函数不存在极值点．
故选A．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，关键是求导函数，并注意在导数为0的左右附近，导数符号的改变．