Question

某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R（t）=6t-t²（万元），（0＜t≤5），其中t是产品售出的数量（单位：百台）．
（说明：①利润=销售收入-成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．）
（1）把年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数；
（2）当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）利润函数y=销售收入函数R（x）-成本函数，讨论x的大小，利用分段函数表示出年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数；
（2）由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值，比较两段的最大值即可求出所求．
解答：解：（1）当0＜x≤5时
f（x）=6x-x²-0.5-2.5x
=-x²+3.5x-0.5（3分）
当x＞5时
f（x）=6×5-×5²-0.5-2.5x=17-2.5x（5分）
即f（x）=（6分）
（2）当0＜x≤5时
f（x）=-（x²-7x+1）=-（x-）²+（9分）
∴当x=3.5∈（0，5]时，f（x）_max==5.625
当x＞5时，f（x）为（5，+∞）上的减函数
f（x）＜f（5）=17-2.5×5=4.5
又5.625＞4.5（11分）
∴f（x）_max=f（3.5）=5.625
故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．（12分）
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．