Question

某工厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数R（x）=5x-

x2

2

（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？

Answer 1

分析：（1）根据题意，分0≤x≤5和x＞5两种情况进行讨论，分别根据利润=销售收入-成本，列出函数关系，即可得到利润表示为年产量的函数；
（2）根据（1）所得的分段函数，分类讨论，分别求出两段函数的最值，然后进行比较，即可得到答案；
（3）工厂不亏本时，则利润大于等于0，从而根据利润的表达式，列出不等式，求解即可得到答案．

解答：解：（1）∵某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本0.25万元，产品售出的数量为x百台，销售的收入函数R（x）=5x-

x2

2

（万元）（0≤x≤5），设利润函数为L（x），
∴当0≤x≤5时，
L（x）=（5x-

x2

2

）-（0.5+0.25x）=-

x2

2

+4.75x-0.5，
当x＞5时，只能售出5百台，
∴L（x）=（5×5-

52

2

）-（0.5+0.25x）=12-0.25x，
综上，L（x）=

- x2 2 +4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

；
（2）∵L（x）=

- x2 2 +4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

，
①当0≤x≤5时，L（x）=-

x2

2

+4.75x-0.5，
∵抛物线开口向下，对称轴为x=4.75，
∴当x=4.75时，L（x）_max=L（4.75）=10.75；
②当x＞5时，L（x）=12-0.25x为R上的减函数，
∴L（x）＜L（5）=10.75．
综合①②，当x=4.75时，L（x）取最大值，
∴年产量为475台时，所利润最大．
（3）∵工厂不亏本时，则L（x）≥0，
当0≤x≤5时，令L（x）=-

x2

2

+4.75x-0.5≥0，解得0≤x≤5；
当x＞5时，令L（x）=12-0.25x≥0，解得5＜x≤48，
∴年产量是0≤x≤48时，工厂才不亏本．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型，本题建立的数学模型为二次函数和分段函数，应用相应的数学知识进行求解．属于中档题．