Question

已知{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-3）•sinπx=1，x＞0}，则x₁+x₂+x₃+x₄的最小值为（　　）

A．6

B．8

C．10

D．12

Answer 1

分析：将“（x-3）•sinπx=1”两边同除以“x-3”，再分别判断两端函数的对称中心，得到函数f（x）=sinπx-

1

x-3

的对称中心，再由对称性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．

解答：解：由（x-3）•sinπx=1得，sinπx=

1

x-3

，则x＞0且x≠3，
∵y=sinπx是以2为周期的奇函数，∴y=sinπx的对称中心是（k，0），k∈z，
∵y=

1

x-3

的图象是由奇函数y=

1

x

向右平移3个单位得到，∴y=

1

x-3

的对称中心是（3，0），
即函数f（x）=sinπx-

1

x-3

的对称中心是（3，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-3）•sinπx=1，x＞0}，
∴当x＞0时，最小值x₁和x₃、x₂和x₄关于（3，0）对称，即x₁+x₃=6、x₂+x₄=6，
则x₁+x₂+x₃+x₄=12，
故选D．

点评：本题主要考查了利用函数的对称性求出方程根之和的最值问题，关键是利用基本初等函数的对称性进行判断，相应复合函数的对称性，难度较大．