题目内容
已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n,均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-
)=0,当x＞-
时，有
f(x)＞0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)解不等式1+f(
)≤f(1)+f(ax),其中a为正常数.
(1)证明：设x1＜x2,则x2-x1-＞-.
依题意，有f(x2-x1-)＞0.
∵f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1
=f(x2-x1)+f(-
)-1
=f［(x2-x1)-
］＞0,
即f(x1)＜f(x2).∴f(x)是R上的增函数.
(2)解：1+f(
)≤f(1)+f(ax) 
f(1)+f(ax)-1≥f(
)
f(ax+1)≥f(
)
≤ax+1.
由此得1≤1+ax,即ax≥0.
又a＞0,知原不等式又等价于
也就是
故当a≥1时，解集为{x|x≥0};
当0＜a＜1时，解集为{x|0≤x≤
}.
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