题目内容

已知函数f（x）=2x-π，g（x）=cosx．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），若 $数学公式$ ，试比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小关系；
（Ⅱ）若 $数学公式$ 且f（x_n+1）=g（x_n）．求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）h（x）=2x-π-cosx．∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．（2分）
令 $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ．
∴当k为偶数时， $\text{[math]}$ 时，?'（x）＜0．
x∈ $\text{[math]}$ 时，?'（x）＞0．（5分）
∴?（x）＞?（x₂）=0．∴从而 $\text{[math]}$ ．（6分）
同理可得当k为奇数时， $\text{[math]}$ ．
∴当k为偶数时， $\text{[math]}$ ，
当k为奇数时， $\text{[math]}$ ．（7分）
（Ⅱ）由条件知：2x_n+1-π=cosx_n．
当 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，∴x∈R时恒有|x|≥|sinx|．（9分）
故 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（I）h（x）=2x-π-cosx，令 $\text{[math]}$ ．然后利用导数研究函数的最小值，讨论k的奇偶，即可得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系；
（II）由条件知：2x_n+1-π=cosx_n，则x∈R时恒有|x|≥|sinx|，从而得到 $\text{[math]}$ ，然后利用等比数列求和公式进行求和即可证得结论．
点评：本题主要考查了利用导数证明不等式，以及数列与不等式的综合，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．