题目内容

已知函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
分析：（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k-1）x=x2-4x=x（x-4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为0点代到f（x）中，判断极大极小值即可．
解答：解：（1）f'（x）=3kx2+6（k-1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得k=
1
3
．                         …（2分）
（2）由（1）可知f(x)=
1
3
x3-2x2+
8
9
，
f'（x）=x2-4x=x（x-4），
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （-∞，0） 0 （0，4） 4 （4，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增
∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；        …（2分）
∴极大值为f(0)=
8
9
，极小值为f(4)=-
88
9
．…（2分）
点评：考查函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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