Question

如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点.

(1)求证:PA⊥平面ABCD;

(2)求二面角E-AC-D的大小;

(3)若F为线段BC的中点,求点D到平面PAF的距离.

Answer 1

解法一:(1)证明:∵底面ABCD为正方形,

∴BC⊥AB.又BC⊥PB,

∴BC⊥平面PAB.

∴BC⊥PA.

同理,CD⊥PA,

∴PA⊥平面ABCD.

(2)设M为AD中点,连结EM.

又E为PD中点,

可得EM∥PA,从而EM⊥底面ABCD.

过M作AC的垂线MN,垂足为N,连结EN.

由三垂线定理有EN⊥AC,

∴∠ENM为二面角EACD的平面角.

在Rt△EMN中,可求得EM=1,MN=,

∴tan∠ENM==.

∴二面角EACD的大小为arctan.

(3)过D作AF的垂线DG,垂足为G,∵PA⊥平面ABCD,

∴平面PAF⊥平面ABCD.∴DG⊥平面PAF.

∴DG为点D到平面PAF的距离.

由F为BC中点,可得AF=.

又△ABF与△DGA相似,可得,

∴DG=,

即点D到平面PAF的距离为.

解法二:(1)证明:同解法一.

(2)建立如图的空间直角坐标系A—xyz,

则A(0,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1).

设m=(x,y,z)为平面AEC的一个法向量,

则m⊥,m⊥.又=(0,1,1),=(2,2,0),

∴令x=1,则y=-1,z=1,

得m=(1,-1,1).

又=(0,0,2)是平面ACD的一个法向量,

设二面角E-AC-D的大小为θ,

则cosθ=cos〈m,〉=.

∴二面角E-AC-D的大小为arccos.

(3)∵F为BC中点,∴F(2,1,0).

设n=(a,b,c)为平面PAF的一个法向量,

则n⊥,n⊥.

又=(0,0,2),=(2,1,0),∴令a=1,则b=-2,c=0,

得n=(1,-2,0).

又=(0,2,0),

∴点D到平面PAF的距离=.