Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ－a，n∈N^*．设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁＝a₁＋2，且b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比数列．

（Ⅰ）求a的值及数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{loga_n}的前n项和为T_n．求使T_n＞b_n的最小正整数n．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n＝1时，a₁＝S₁＝2－a；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2^n－1．

∵{a_n}为等比数列，

∴2－a＝1，解得a＝1．

∴a_n＝2^n－1．

设数列{b_n}的公差为d，

∵b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比数列，

∴(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，

又b₁＝3，

∴(8＋3d)²＝(8＋d)(8＋7d)，

解得d＝0（舍去），或d＝8．

∴b_n＝8n－5．………………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由a_n＝2^n－1，得loga_n＝2(n－1)，

∴{loga_n}是以0为首项，2为公差的等差数列，

∴T_n＝＝n(n－1)．

由b_n＝8n－5，T_n＞b_n，得

n(n－1)＞8n－5，即n²－9n＋5＞0，

∵n∈N^*，∴n≥9．

故所求n的最小正整数为9．……………………………………………………12分