Question

已知函数f(x)=

x2+a

x+1

（其中a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=

1

2

x+b，求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

由f(x)=

x2+a

x+1

，可得f′(x)=

x2+2x-a

(x+1)2

．…．（2分）
（Ⅰ）因为函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=

1

2

x+b，得：

f′(1)= 1 2 f(1)= 1 2 +b

…．（4分）
解得 

a=1 b= 1 2

…．（5分）
（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x²+2x-a＞0…①…．（6分）
当△=4+4a≤0，即a≤-1时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，+∞）．…．（8分）
当△=4+4a＞0，即a＞-1时，不等式①的解为x＞-1+

1+a

或x＜-1-

1+a

，
…．（10分）
又因为x≠-1，所以此时函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-1-

1+a

)和(-1+

1+a

，+∞)，单调递减区间为(-1-

1+a

，-1)和(-1，-1+

1+a

)．
．…．（12分）
所以，当a≤-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，+∞）；
当a＞-1时，函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-1-

1+a

)和(-1+

1+a

，+∞)，
单调递减区间为(-1-

1+a

，-1)和(-1，-1+

1+a

)..…．（13分）