题目内容

已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，-2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）有最大值 $数学公式$ ？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（-∞，1）
$\text{[math]}$ ．（2分）
由题意得 $\text{[math]}$ 对一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ．（5分）
当x∈[-3，-2）时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．故 $\text{[math]}$ ．（7分）
（Ⅱ）假设存在正实数a，使得 $\text{[math]}$ 成立. $\text{[math]}$ ．（9分）
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．由于 $\text{[math]}$ ，故应舍去．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．（11分）
令 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．（13分）
另解：假设存在正实数a，使得 $\text{[math]}$ 成立．
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（9分）
由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
因为x∈（-∞，1），
∴g（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，在上单调递减．
∴ $\text{[math]}$ ．（11分）
令 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用导数在[-3，-2）恒为正，通过二次函数的最值求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）假设存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）有最大值 $\text{[math]}$ ，直接求出a的值．
另解：假设存在正实数a，使得 $\text{[math]}$ 成立．设 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ ＞0，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．通过x∈（-∞，1），g（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，在上单调递减．得到 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
点评：本题只要考查求函数的导数以及函数的最值问题，体现转化的数学思想，特别注意新变量的取值范围，同时也考查了二次函数在定区间上的最值问题，恒成立问题，属中档题．