Question

已知函数f（x）=lg（4-k•2^x），（其中k实数）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据真数大于零，可由4-k2^x＞0求得函数的定义域，要注意分类讨论．
（Ⅱ）f（x）在（-∞，2]上有意义，即对任意x∈（-∞，2]不等式4-k2^x＞0恒成立可转化为k＜

4

2x

x∈（-∞，2]恒成立求解，只需求得u=

4

2x

的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知：4-k2^x＞0（2分）
即解不等式：k2^x＜4（3分）
当k≤0，不等式的解为R（5分）
当k＞0，不等式的解为x＜log2

4

k

（7分）
所以当k≤0f（x）的定义域为R；
当k＞0f（x）的定义域为(-∞，log2

4

k

)（8分）
（Ⅱ）由题意可知：对任意x∈（-∞，2]不等式4-k2^x＞0恒成立（10分）
得k＜

4

2x

（12分）
又x∈（-∞，2]，u=

4

2x

的最小值1．（14分）
所以符合题意的实数K的范围是（-∞，1）（15分）

点评：本题主要考查函数定义域的求法及定义域的应用，定义域常见类型有分式函数，根式函数，基本函数的定义域等．