Question

已知函数f(x)=log₃的定义域为R,值域为［0,1］.

(1)求c的值;

(2)求函数f(f(x))的最大值.

Answer 1

解：(1)令t=,则

(t-2)x²-2x+t-c=0,

Δ=(-2)²-4(t-2)(t-c)≥0

t²-(2+c)t-1+2c≤0.

由已知得t∈［1,3］,

所以1、3是t²-(2+c)t-1+2c=0的两根.

所以c=2.

(2)令y=f(x),则y∈［0,1］,

所以f［f(x)］=f(y)=log₃=log₃(2+).

因为y∈［0,1］,所以当y∈(0,1)时,

有≤=1,当y=1时取等号.

当y=0时,=0,所以∈［0,1］,

即2+∈［2,3］.

所以f［f(x)］的最大值为1.(当且仅当y=1即x=1时取等号).