Question

【题目】已知复数z=k﹣2i（k∈R）的共轭复数 ，且z﹣（ ﹣i）= ﹣2i．
（1）求k的值；
（2）若过点（0，﹣2）的直线l的斜率为k，求直线l与曲线y= 以及y轴所围成的图形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：复数z=k﹣2i的共轭复数 =k+2i，

且z﹣（ ﹣i）= ﹣2i，

∴（k﹣2i）﹣（ ﹣i）= （k+2i）﹣2i，

∴（k﹣ ）﹣i= k﹣i，

即k﹣ = k，

解得k=1；

（2）解：过点（0，﹣2）的直线l的斜率为k=1，

∴直线l的方程为：y=x﹣2；

令 ，解得 ，

∴直线l与曲线y= 的交点为（4，2）；

如图所示，

曲线y= 与直线y=x﹣2以及y轴所围成的图形的面积为：

S△OBC+∫02 dx+∫24（ ﹣x+2）dx= ×2×2+ +（ ﹣ x2+2x） = ．

【解析】（1）利用复数相等与代数运算，列出方程求出k的值；（2）写出直线l的方程，求出直线l与曲线y= 的交点，再利用积分求对应的面积．