Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（2）确定函数的定义域，求导函数．利用导数的正负，分类讨论，即可求得和的单调区间．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

．         
因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程为 y=-2．                                     
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

．          
①a＞2时，令f′（x）＞0，可得x＞

1

2

或0＜x＜

1

a

；令f′（x）＜0，可得

1

a

＜x＜

1

2

；
②a=2时，f′（x）≥0恒成立；
③0＜a＜2时，令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

或0＜x＜

1

2

；令f′（x）＜0，可得

1

2

＜x＜

1

a

；
④a≤0时，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

2

；令f′（x）＜0，可得x＞

1

2

；
∴a＞2时，函数的单调增区间是（0，

1

2

），（0，

1

a

）；单调减区间为（

1

a

，

1

2

）；a=2时，f（x）在（0，+∞上单调递增；0＜a＜2时，函数的单调增区间是（

1

a

，+∞），（0，

1

2

）；单调减区间是（

1

2

，

1

a

）；a≤0时，函数的单调增区间是（0，

1

2

）；单调减区间是（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．